5.3. Условие статистической взаимозаменяемости и характеристики случайных отклонений

Использование принципа статистической взаимозаменяемости возможно и оправдано потому, что действительные отклонения влияющих параметров  $\Delta X_i$ являются случайными величинами. При этом вероятность одновременной реализации наихудшей комбинации отклонений внутренних и внешних составляющих параметров очень мала. В этом предположении уравнение размерной цепи и уравнение чувствительности необходимо рассматривать как уравнения, связывающие случайные величины.

Для обеспечения статистической взаимозаменяемости необходимо соблюдать нижеследующий вероятностный принцип: допуски на определяющие параметры должны быть выбраны так, чтобы вероятность $\alpha$ того, что отклонения выходного параметра превосходят допускаемые значения, была не более заданной вероятности риск брака.

Таким образом, статистическая взаимозаменяемость обеспечивает получение годного изделия с вероятностью, отличающейся от единицы на некоторую величину $\alpha$, которую называют риском. Риск получения негодного изделия (с выходным параметром, лежащим вне поля допуска) выбирают достаточно малым и обычно не превосходящим $0{,}0027$.

Формализованная запись вероятностного принципа задает вероятность выхода контролируемого параметра $Y$ за пределы допуска в виде нестрогого неравенства. Если допуск двухсторонний, т.е. ограничен известными верхним $ES$ и нижним $EI$ отклонениями, то действительное отклонение выходного параметра $\Delta Y$ должно удовлетворять условию

$$\Pr\left\{\Delta Y\geqslant EI \cap \Delta Y \leqslant ES\right\}\ge1-\alpha,$$ (5.8)

где $\Pr\{A\}$ означает вероятность события $A$.

Проверить соблюдение неравенств из условия (5.8), можно, если для функций отклонений $\Delta Y$ и $\delta Y$ применима линеаризация (4.18), (4.25) и известны числовые характеристики — математическое ожидание $M$ и дисперсия $D$ всех  $\Delta X_i$ и $\delta X_i$. Для этого следует использовать теоремы теории вероятностей о математическом ожидании и дисперсии суммы независимых случайных величин (вспомнить эти фрагменты теории вероятностей читателю может помочь краткое — Приложение A — или полное изложение [10]).

Действительно, применяя теорему о математическом ожидании суммы случайных величин и свойства дисперсии к линеаризованным уравнениям чувствительности (4.18) и (4.25), легко получим следующие определения. Математическое ожидание абсолютного отклонения выходного параметра:

$$M(\Delta Y)=\sum_{i=1}^n A_i\cdot M(\Delta X_i).$$ (5.9)

Математическое ожидание относительного отклонения выходного параметра:

$$M(\delta Y)=\sum_{i=1}^n B_i\cdot M(\delta X_i).$$ (5.10)

Дисперсия случайного абсолютного отклонения выходного параметра:

$$D(\Delta Y)=\sum_{i=1}^n A_i^2\cdot D(\Delta X_i).$$ (5.11)

Дисперсия случайного относительного отклонений выходного параметра:

$$D(\delta Y)=\sum_{i=1}^n B_i^2\cdot D(\delta X_i).$$ (5.12)

Исходя из определения, искомые стандартные отклонения представимы в двух нижележащих формулах.

Стандартное отклонение $\sigma$ случайного абсолютного отклонения $\Delta Y$ выходного параметра:

$$\sigma(\Delta Y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n A_i^2\cdot\sigma^2(\Delta X_i)}.$$ (5.13)

Стандартное отклонение $\sigma$ случайного относительного отклонения $\delta Y$ выходного параметра:

$$\sigma(\delta Y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n B_i^2\cdot\sigma^2(\delta X_i)}.$$ (5.14)

Итак числовые характеристики случайной величины отклонений выходного параметра функциональной размерной цепи полностью определяются числовыми характеристиками случайных отклонений влияющих параметров и могут быть найдены, если уравнение чувствительности является линейным.

Полученные соотношения позволяют сравнить варианты обеспечения взимозаменяемости. В п. 5.2 на примере трехзвенной размерной цепи показано, как ограничены допуски влияющих параметров при заданном допуске выходного параметра. А теперь такой же анализ можно провести, если использовать принцип статистической взаимозаменяемости. Сравнение вариантов предмет следущих параграфов 5.4 и 5.5.