К главе 6

6.1.  ${DPB = 6800}$.

6.2. При значении  ${C_p = 1{,}2}$ расстояние между границами поля допуска может быть выражено как

$$USL ‑ LSL = 1{,}2\cdot 6\sigma=7{,}2\cdot\sigma.$$

Граница поля допуска отстоит от центра распределения на  $3{,}6\sigma$. Отыскав в таблице функции нормального распределения [2,5] его значение при ${z=3{,}6}$ ${\Phi(3{,}6)=0{,}99984}$ найдем вероятность выхода за границы допуска $\Pr\{Def\} = 2\cdot(1-0{,}99984) = 0{,}00032$ и значение ${DPM = 10^6\cdot0{,}00032 = 320}$.

Десятикратному увеличению соответствует новое значение ${DPM = 3200}$. По определению найдем вероятность выхода за границы допуска

$$\Pr\{Def\}=10^{-6}\cdot DPM = 0{,}0032.$$

Этой вероятности соответствует значение функции нормального распределения ${\Phi(z) = 1-0{,}0032/2 = 0{,}9984}$. По таблице функции нормального распределения найдем значение аргумента ${z=2{,}948}$. Это значит, что граница допуска отстоит от середины поля на расстояние  $2{,}948\sigma$. После подстановки в формулу для индекса воспроизмодимости получим

$$C_p = \frac{2\cdot2{,}948\sigma}{6\sigma} = 0{,}983.$$

6.3.  ${C_p=1{,}33}$; ${CPU=1}$; ${CPL=1{,}66}$; ${C_{pk}=1}$.

6.4. Используя формулы вероятностей брака «выше нормы» и «ниже нормы» и таблицы функции нормального распределения, найдем вероятность брака $\alpha$ и долю брака $DPM$:

$$\alpha = \alpha_U+\alpha_L = (1-\Phi(3\cdot1))+(1-\Phi(3\cdot1{,}66)) =$$

$$= (0{,}00135+0{,}0000003) = 0{,}00135;$$

$$DPM = 10^6\cdot\alpha=10^6\cdot0{,}00135 = 1350.$$

6.5. Верхнее отклонение

$$ES=4\cdot0{,}05=0{,}2~$$мм$$,$$

нижнее отклонение

$$EI=-ES=-0{,}2~$$мм$$.$$

Допуск

$$T=0{,}4~$$мм$$.$$

Индекс воспроизводимости

$$C_p=0{,}4/(6\cdot0{,}08)=0{,}833.$$

Частные индексы настройки

$$CPU=(4{,}2-3{,}9)/(3\cdot0{,}08)=1{,}25$$

и

$$CPL=(3{,}9-3{,}8)/(3\cdot0{,}08)=0{,}417.$$

Теперь можно найти долю брака ниже нормы

$$\alpha_L=1-\Phi(3\cdot C_p)=1-0{,}8944\approx 0{,}107.$$

Если бы смещение отсутствовало, то доля брака составила бы

$$\alpha=2(1-\Phi(3\cdot C_p))=2(1-\Phi(3\cdot0{,}833))=2\cdot0{,}0062=0{,}012.$$

Таким образом, в первую очередь необходимо снижать смещение центра распределения провала контактов относительно номинала и потом улучшать воспроизводимость процесса.

6.6. Поскольку оценка стандартного отклонения может быть найдена как  ${s=0{,}3\text{В}}$, индекс воспроизводимости равен  ${C_p=2/(6\cdot0{,}3)=1{,}11}$. Из таблицы 6.1 при доверительной вероятности  ${P_A=0{,}95}$ и объеме выборки ${n=75}$ следует, что множители нижней и верхней границ доверительного интервала суть 0,84 и 1,16. Теперь можно вычислить значения ${K_L\cdot C_p=0{,}84\cdot 1{,}11=0{,}932}$ и ${K_U\cdot C_p=1{,}16\cdot 1{,}11=1{,}288}$ и сформулировать ответ: индекс воспроизводимости с доверительной вероятностью 0,95 находится в интервале от 0,932 до 1,288.

6.7.  ${C_pk=0{,}933}$; ${C_{pt}=0{,}85}$; ${DPM=2555}$.