B.2. К главе 15

15.1. $k=0{,}3$.

15.2. Выберем в качестве нулевой линии отсчета отклонений номинальное значение 18 В. При этом верхнее отклонение окажется равным  ${ES = 0{,}05\cdot18=0{,}9}$ В. Абсолютное значение смещения среднего значения напряжения срабатывания составляет $\vert m‑\mu\vert = \vert 18‑18{,}27\vert = 0{,}27$ В. Координата верхнего отклонения по отношению к центру распределения равна $ES‑\vert m‑\mu\vert = 0{,}9‑0{,}27= 0{,}63$ В. Нормированное значение верхней границы допуска (в долях стандартного отклонения) получим в виде $z = 0{,}63/0{,}3 = 2{,}1$. Вероятность отклонений напряжения срабатывания не превышающих 0,9 В определится как значение функции нормального распределения при ${z = 2{,}1}$. В таблице [6,59] имеем  ${\Phi(2{,}1)=0{,}9821}$. Поэтому доля брака «выше нормы» составит $(DPM)_U = (1-0{,}982)\cdot10^6=17900$. Нормированное значение нижнего отклонения определится как $z=(-0{,}9-0{,}27)/0{,}3=-3{,}9$. Значение нормальной функции распределения для аргумента –3,9 есть 0,000049 и потому долей брака «ниже нормы» ${(DPM)_U=49}$ можно пренебречь.

15.3.  ${C_p=1{,}33}$; ${CPU=1}$; ${CPL=1{,}66}$; ${C_{pk}=1}$.

15.4. Используя формулы вероятностей брака “выше нормы” и “ниже нормы” и таблицы функции нормального распределения, найдем вероятность брака $\alpha$ и долю брака $DPM$:

$$\alpha = \alpha_U+\alpha_L = (1-\Phi(3\cdot1))+(1-\Phi(3\cdot1{,}66)) =$$

$$= (0{,}00135+0{,}0000003) = 0{,}00135;$$

$$DPM = 10^6\cdot\alpha=10^6\cdot0{,}00135 = 1350.$$

15.5. Пусть номинал обозначен $DN$. Тогда по определению ${USL=ES+DN}$ и ${LSL=EI+DN}$. Подставляя эти выражения в определяющие формулы (15.4) и (15.5), получим ответ

$$CPU=\frac{ES+DN-m}{3\cdot s}$$

и

$$CPL=\frac{m-EI-DN}{3\cdot s}.$$

Выражение индекса налаженности при этом не изменится.

15.6. В соответствии с (15.11) ${C_{pk}=1{,}4\cdot(1-0{,}32)=0{,}952}$. Подставив значения $C_{pk}$ и $C_p$ в (15.14), получим вероятность брака

$$\alpha = 2-\Phi(3\cdot0{,}952)-\Phi(3\cdot(2\cdot1{,}4-0{,}952))=$$

$$= 2-0{,}99785-1 = 0{,}00215,$$

что соответствует доле брака  ${DPM=2150}$. Рекомендуется обратить внимание на центрирование процесса. Воспроизводимость процесса вполне приемлема.

15.7.  ${C_p=1{,}21}$; ${CPU=0{,}969}$; ${CPL=1{,}455}$; ${C_{pk}=0{,}969}$; ${DPM=1825}$.

15.8. Верхнее отклонение

$$ES=4\cdot0{,}05=0{,}2~$$мм$$,$$

нижнее отклонение

$$EI=-ES=-0{,}2~$$мм$$.$$

Допуск

$$T=0{,}4~$$мм$$.$$

Индекс воспроизводимости

$$C_p=0{,}4/(6\cdot0{,}08)=0{,}833.$$

Частные индексы настройки

$$CPU=(4{,}2-3{,}9)/(3\cdot0{,}08)=1{,}25$$

и

$$CPL=(3{,}9-3{,}8)/(3\cdot0{,}08)=0{,}417.$$

Теперь можно найти долю брака ниже нормы

$$\alpha_L=1-\Phi(3\cdot C_p)=1-0{,}8944\approx 0{,}107.$$

Если бы смещение отсутствовало, то доля брака составила бы

$$\alpha=2(1-\Phi(3\cdot C_p))=2(1-\Phi(3\cdot0{,}833))=2\cdot0{,}0062=0{,}012.$$

Таким образом, в первую очередь необходимо снижать смещение центра распределения провала контактов относительно номинала и потом улучшать воспроизводимость процесса.

15.9. Поскольку оценка стандартного отклонения может быть найдена как ${s=0{,}3}$ В, индекс воспроизводимости равен  ${C_p=2/(6\cdot0{,}3)=1{,}11}$. Из таблицы 15.1 при доверительной вероятности  ${P_A=0{,}95}$ и объеме выборки ${n=75}$ следует, что множители нижней и верхней границ доверительного интервала суть 0,84 и 1,16. Теперь можно вычислить значения ${K_L\cdot C_p=0{,}84\cdot 1{,}11=0{,}932}$ и ${K_U\cdot C_p=1{,}16\cdot 1{,}11=1{,}288}$ и сформулировать ответ: индекс воспроизводимости с доверительной вероятностью 0,95 находится в интервале от 0,932 до 1,288.

15.10.  ${s_t^2=46{,}25}$; ${C_{pt}=0{,}98}$.

15.11.  ${1+9\cdot(C_p-C_{pk})^2=C_p^2/C_{pt}^2}$

15.12.  ${C_pk=0{,}933}$; ${C_{pt}=0{,}85}$; ${DPM=2555}$.