Пример 2. Полупроводниковое реле времени

В простейшем исполнении полупроводниковое реле времени представляет собою реле напряжения, подключенное к источнику входного напряжения через цепь задержки. Независимо от конкретного исполнения и элементной базы реле напряжения является пороговым элементом $TH$, который характеризуется порогом срабатывания $U_S$.

Пусть на вход схемы, представленной на рис. 17.1, подано напряжение входа $U_E$. В момент времени $t=0$ переключается ключ $S$ и начинается заряд конденсатора $C$ через резистор $R$. Напряжение на конденсаторе $u_C$ изменяется в соответствии с известным уравнением

$$u_C(t)=U_E\left(1-\exp(-t/\tau)\right),$$

где, как и выше, постоянная времени $\tau=RC$.

Рис. 17.1. Принципиальная схема элемента выдержки времени

Скачкообразное изменение напряжения на выходе $U_{01}$, т. е. срабатывание реле наступает в момент времени $t_S$, когда напряжение на конденсаторе становится равным пороговому напряжению $U_S$. Таким образом, для момента срабатывания справедливо уравнение

$$u_C(t_S)=U_S=U_E\left(1-\exp(-t_S/\tau)\right),$$

логарифмируя которое, после очевидных алгебраических преобразований найдем

$$t_S=\tau\cdot\ln\frac{U_E}{U_E-U_S}.$$ (17.23)

Итак, мы имеем функциональное уравнение выходного параметра изделия. Теперь можно записать уравнения чувствительности выходного параметра к абсолютным и относительным отклонениям, т. е. уравнения вида $\Delta t_S=\Psi_\Delta(\Delta\tau,\Delta U_S,\Delta U_E)$ и $\delta t_s=\Psi_\delta(\delta\tau,\delta U_S,\delta U_E)$. Но сначала для этого надо найти коэффициенты чувствительности.

Дифференцируя (17.23) по $\tau$ и подставив в производную номинальные значения всех параметров, что обозначено ниже добавлением в индексе буквы $N$, получим коэффициент чувствительности времени задержки $t_S$ к абсолютным отклонениям постоянной времени $\tau$:

$$A_\tau=\left.\frac{\partial t_S}{\partial\tau}\right\vert _N=\ln\frac{U_{E,N}}{U_{E,N}-U_{S,N}}.$$ (17.24)

Используя определение коэффициента чувствительности к относительным отклонениям (17.13), получим выражение, определяющее коэффициент чувствительности $t_S$ к относительным отклонениям постоянной времени $\tau$

$$B_\tau=A_\tau\cdot\frac{\tau_N}{t_{S,N}}= \left(\ln\frac{U_{E,N}}{U_{E,N}-U_{S,N}}\right)\cdot\frac{\tau_N}{t_{S,N}}= \frac{t_{S,N}}{t_{S,N}}=1.$$ (17.25)

Аналогично из (17.23) можно, дифференцируя сначала по $U_S$ и затем по $U_E$, найти коэффициенты влияния этих величин в соответствии с определениями (17.5) и (17.13):

$$B_{U_S} =\left.\frac{\partial t_S}{\partial U_S}\right\vert _N\cdot\frac{... ...N}{U_{EN}-U_{SN}}\cdot\frac{U_{SN}}{\tau_N\cdot\ln\frac{U_{EN}}{U_{EN}-U_{SN}}}$$
и

$$B_{U_E} =\left.\frac{\partial t_S}{\partial U_E}\right\vert _N\cdot\frac{... ...N})\cdot U_{EN}}\cdot\frac{U_{EN}}{\tau_N\cdot\ln\frac{U_{EN}}{U_{EN}-U_{SN}}}.$$

Если ввести величину относительного порогового напряжения как

$$\tilde{u}=\frac{U_S}{U_E},$$ (17.26)

то вышеприведенные выражения коэффициентов чувствительности упрощаются и принимают вид

$$-B_{U_S}=B_{U_E}=\frac{\tilde{u}_N}{(1-\tilde{u}_N)\cdot\ln(1-\tilde{u}_N)}.$$ (17.27)

В равенствах (17.27) принято обозначение номинального значения относительного порогового напряжения $\tilde {u}_N=U_{SN}/U_{EN}$.

Искомое уравнение чувствительности времени задержки к относительным отклонениям постоянной времени, порогового и входного напряжений можно записать в форме

$$\delta t_S=\delta\tau + \frac{\tilde{u}_N}{(1-\tilde{u}_N)\cdot\l... ..._E - \frac{\tilde{u}_N}{(1-\tilde{u}_N)\cdot\ln(1-\tilde{u}_N)}\cdot\delta U_S.$$ (17.28)

Выходной параметр, т. е. время задержки $t_S$, можно представить как функцию той же относительной величины:

$$t_S=-\tau\cdot\ln(1-\tilde{u}).$$ (17.29)

Очевидно, что работоспособность реле времени сохраняется для значений относительного порогового напряжения, лежащих в интервале  $0<\tilde{u}<1$.

Анализируя (17.29), можно видеть, что увеличение относительного порогового напряжения позволяет увеличивать выдержку времени. Теоретически достижима любая, сколь угодно большая выдержка времени. Однако выбор номинального значения относительного порогового напряжения  $\tilde {u}_N=U_{SN}/U_{EN}$ оказывается ограниченным из‑за роста коэффициентов чувствительности. Зависимости относительной выдержки времени $t_S/\tau$ и коэффициентов чувствительности к отклонениям напряжений от номиналов иллюстрирует рис. 17.2.

Рис. 17.2. Влияние номинала относительного порогового напряжения  $\tilde {u}_N=U_{SN}/U_{EN}$ на относительную выдержку времени $t_S/\tau$ и на коэффициенты чувствительности $B$ к отклонениям входного и порогового напряжений

Как видно из сравнения кривых на рис. 17.2, увеличение выдержки времени при увеличении относительного порогового напряжения происходит существенно медленнее, чем увеличение чувствительности к отклонениям напряжений от номинала. Так, например, удвоение выдержки времени $t_S$ по сравнению с постоянной времени $\tau$ цепи задержки приведет к почти четырехкратному росту влияния отклонений напряжений. Фактически это означает, что вчетверо ужесточаются требования к точности порога срабатывания $U_S$ релейного элемента $TH$ и к стабильности входного напряжения $U_E$. Иными словами, требования к допускам входного и порогового напряжений могут оказаться трудно выполнимыми.

Используя (17.27) и (17.29) можно получить выражение непосредственной зависимости $B\left(t_S/\tau\right)$ коэффициентов чувствительности входного и порогового напряжений от значений относительной выдержки времени в виде^17.1

$$\vert B\vert=\frac{e^{t_S/\tau}-1}{t_S/\tau}.$$ (17.30)

График этого выражения представлен на рис. 17.3. Этот рисунок иллюстрирует экспоненциальный рост коэффициентов чувствительности при возрастании относительной выдержки времени.

Рис. 17.3. Влияние относительной выдержки времени на коэффициенты чувствительности к относительным отклонениям порогового и входного напряжений.

Заканчивая рассмотрение примеров, уместно сделать важное нижеследующее замечание. Общие уравнения чувствительности (17.1) и (17.10), записанные выше, и их линеаризованные приближения (17.7) и (17.14) описывают связь конкретных значений отклонений параметров от номиналов. На практике такие отклонения могут носить случайный характер и обычно их конкретные значения для каждого данного изделия вовсе неизвестны. Как уже было выяснено в главе 14, реально бывают заданы лишь допуски, т. е. границы отклонений, соблюдение которых позволяет признать изделие годным.

Очевидно, что должна иметь место связь допусков с уравнениями чувствительности. Эта связь и является предметом дальнейшего рассмотрения. Иными словами, необходимо решить, как должны или могут быть связаны допуски элементов функциональной параметрической цепи при наличии уравнений чувствительности к отклонениям составляющих звеньев.