4.3 Формирование предупрежающих границ и контрольных границ регулирования

Стандартом предусмотрены следующие выражения для границ контрольной карты средних арифметических. Верхняя граница регулирования задаётся выражением

$$\mu_0+B_1\cdot\sigma/\sqrt{n}.$$ (4.5)

Верхняя предупреждающая граница имеет вид

$$\mu_0+B_2\cdot\sigma/\sqrt{n}.$$ (4.6)

Нижнюю предупреждающую границу задают на уровне

$$\mu_0-B_2\cdot\sigma/\sqrt{n}.$$ (4.7)

Нижнюю границу регулирования задают выражением

$$\mu_0-B_1\cdot\sigma/\sqrt{n}.$$ (4.8)

В этих формулах, как и выше, $\mu _0$ — это уровень центральной линии карты — целевое значение среднего выборочного. Стандартное отклонение стабильно воспроизводимого процесса обозначено как $\sigma$. Символ $n$ — это объём (численность) выборки.

Коэффициенты $B_1$ и $B_2$ назначают, анализируя эффективность карты при выборе каждой из этих величин. Как и для обычных карт Шухарта, эффективность оценивается средней длиной серии выборок до получения корректирующего или предупреждающего сигнала. Для термина «средняя длина серии» ниже в тексте будет употребляться аббревиатура $ARL$, как в 3.3 и в тексте стандартов.

Средняя длина серии наблюдений до появления среднего арифметического в той или иной зоне определяется вероятностью того, что очередное среднее арифметическое окажется больше верхней границы или меньше нижней границы. Эти вероятности очевидным образом зависят от распределения среднего арифметического.

Как описано в главе 2, выборочное среднее имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным среднему значению процесса, и стандартным отклонением  $\sigma/\sqrt{n}$. Возможные значения середины процесса задаются его смещением $\Delta$ относительно целевого значения $\mu _0$. Следовательно, вероятности отклонений средних арифметических выборок существенным образом связаны со значением отношения  $\Delta/(\sigma/\sqrt{n})$, которое в стандарте принято записывать в виде  $\delta\sqrt{n}$, где величина

$$\delta = \frac{\Delta}{\sigma}$$ (4.9)

представляет относительное отклонение процесса от целевого значения.

Каждому набору параметров карты контроля $B_1$, $B_2$, $K$ и $\delta\sqrt{n}$ соответствует расчетное значение $ARL$. Стандарт [8] содержит таблицы уже готовых значений $ARL$ для наиболее употребительных сочетаний указанных величин.

Обычно выбор параметров карты основывается на том, что $ARL$ до получения ложного сигнала о необходимой остановке процесса при появлении $K$ точек в предупреждающей зоне карты для целевого процесса (обозначено в стандарте $L_0$) должно быть насколько возможно большим. В то же время $ARL$ до появления $K$ точек в предупреждающей зоне карты при недопустимом смещении процесса следует реализовать как можно меньшим, чтобы получать сигнал разладки насколько возможно без задержки. Для значения сдвига до $\mu _1$ или $\mu_{-1}$ в стандарте для средней длины серии принято обозначение $L_1$.

Таблицы стандарта построены для трех значений  $B_1=2{,}75$, $B_1=3{,}0$ и $B_1=3{,}25$. Практически эти значения охватывают целесообразный диапазон выбора параметра $B_1$, от которого зависит средняя длина серии до ложного сигнала корректировки процесса. Эти значения $ARL$ не связаны с использованием предупреждающих границ и вычисляются в соответствии с (3.5) при $\delta=0$ и $Z_p=B_1$. Соответствие средней длины серии до ложного сигнала выхода за контрольную границу регулирования и значения $B_1$ приведено в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Значения $ARL$ до ложной тревоги для различных уровней $B_1$ контрольной границы

При известном значении относительного сдвига, который должен контролироваться картой, целесообразно иметь достаточно малую среднюю длину серии, которая обеспечивается выбранным значением $B_1$.

Далее процесс выбора стандартного плана контроля рассмотрим на примере.

Контролируется процесс производства малогабаритных реле напряжения с номинальным значением напряжения срабатывания 18 В с допуском по верхней границе допуска  $USL=21~$В. Для процесса производства принято номинальное значение в качестве целевого и, таким образом, $\mu_0=18~$В. Стандартное отклонение контролируемого признака оценено в предварительном исследовании и составило  $\sigma=1{,}0~$В.

Пусть сдвиг $\mu _1$ по отношению к $\mu _0$ задан так, что требуется обнаруживать отклонение среднего арифметического на  $\Delta=0{,}55\sigma$. Здесь принимают во внимание $\sigma$ — стандартное отклонение контролируемого признака в процессе. Это означает, что объему выборки $n=5$ соответствует параметр

$$\delta\sqrt{n}=\frac{\Delta}{\sigma}\sqrt{n}=\frac{0{,}55\cdot\sigma}{\sigma}\sqrt{5}\approx1{,}2.$$

Если граница $B_1$ выбрана, то можно вычислить $ARL$ до обнаружения заданного контролируемого сдвига $\mu _1$. В табл. 4.2 представлены ARL до ожидаемой тревоги при сдвиге уровня процесса достигшего конкретного значения  $\mu_1=\mu_0+0{,}55\sigma$.

Таблица 4.2. Значения $ARL$ до ожидаемой тревоги (появления точки в зоне $A$) при сдвиге среднего арифметического до уровня $\mu _1$ в зависимости от положения контрольной границы, задаваемого коэффициентом $B_1$

Примечание: расчет проводится по (3.5) при  $\delta=1{,}2$.

Рекомендуется начинать выбор с привычного значения $B_1=3$. Тогда все следующие шаги опираются на поиск удовлетворительных сочетаний $K$ и $B_2$ в таблице стандарта с выбранным $B_1$ при значении  $\delta\sqrt{n}=1{,}2$. Фрагмент такой таблицы (см. табл. 4.3) приведен для примера.

Таблица 4.3. Пример поиска вариантов плана контроля

К этой таблице необходимо сделать важное примечание, состоящее в том, что первая строка для значений  $\delta\sqrt{n}=0$ всегда принимается во внимание. Эта строка задает среднюю длину серии до ложного сигнала об остановке процесса при появлении $K$ последовательных точек в зоне $W$ контрольной карты. Выше уже было отмечено, что в стандарте это значение оозначают $L_0$.

Строка со значением заданного параметра  $\delta\sqrt{n}=1{,}2$ является строкой поиска возможных решений. Значения $ARL$ этой строки обозначают $L_1$.

Первое, очевидное правило состоит в том, что выбираемым значениям $K$ и $B_2$ должно соответствовать значение $ARL$ до появления ожидаемой необходимой тревоги по сигналу в зоне предупреждения меньшее, чем значение $ARL$ до появления тревоги при выходе среднего арифметического в зону $A$ контрольной карты выше верхней критической границы. Эти последние значения для разных $B_1$ приведены выше в табл. 4.2.

Задача создания плана контроля с предупреждающими границами не имеет однозначного решения. Для осознанного выбора возможного целесообразного плана стандарт рекомендует составить сравнительную таблицу вариантов. В эту таблицу вносят варианты с достаточно большими значениями $ARL$ ложной тревоги (значения $L_0$) и достаточно малыми $ARL$ до появления ожидаемого числа $K$ при разладке (значения $L_1$).

Для рассмотренного выше примера такая таблица предварительного отбора возможных планов представлена ниже в табл. 4.4. Среди планов‑претендентов стандарт предлагает выбрать тот, который характеризуется наибольшим значением отношения $L_0/L_1$. В таблице 4.4 таким наилучшим планом является план номер 5. Для этого плана отношение $L_0/L_1$ приближается к $45$. По сравнению с обычной картой Шухарта введение такой модифицированной карты при прочих равных условиях более чем вдвое сокращает среднюю длину серии контроля выборок до получения сигнала о необходимой корректировки процесса. Действительно, в соответствии с табл. 4.2 средняя длина серии до выхода за верхнюю контрольную границу определена как $27$, а для выбранного варианта модифицированной карты значение  $L_1=11{,}9$ и есть средняя длина серии до появления 4 точек в зоне $W$ карты.

Таблица 4.4. Пример отобранных вариантов формирования предупреждающих границ на контрольной карте

Итак, на карте должны быть проведены следующие линии: центральная линия с указанием значения  $18~$В, верхняя предупреждающая граница с указанием значения  $18{,}44~$В

$$\mu_0+B_2\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=18+1\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\approx18{,}44,$$

верхняя контрольная граница с указанием значения  $19{,}34~$В

$$\mu_0+B_1\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=18+3\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\approx19{,}34,$$

линии основной сетки значений $16$, $17$, $18$, $19$ и $20$.

Значения контролируемого показателя (напряжения срабатывания реле), которые наблюдались в процессе приведены в табл. 4.5 и нанесены на карту.

Таблица 4.5. Выборочные значения напряжения срабатывания реле по 5 экземпляров в выборке и средние арифметические $\bar {x}$. Реакция на появление точек в зонах $A$ и $W$ соответствует уровню контрольной границы $19{,}34$ ($B_1=3$) и уровню предупреждающей границы $18{,}44$ ($B_2=2$, $K=4$)

Сравнивая значения столбца средних выборочных с границами карты можно видеть, что 2‑я, 7‑я, 11‑я и 14‑я выборки имели средние выборочные в зоне $W$. Выборка номер 14 была четвертой и потому явилась сигналом необходимости контроля процесса. При появлении этой выборки процесс уже следовало остановить.

Процесс был продолжен, и на 18‑й выборке появился обычный сигнал карт Шухарта об остановке процесса при обнаружении среднего выборочного, превышающего контрольную границу (т. е. в зоне $A$).

Для иллюстрации на рис. 4.3 приведен вид карты выборочных средних арифметических процесса по данным, рассмотренным в примере.

Рис. 4.3. Модифицированная контрольная карта напряжения срабатывания реле, В, с предуперждающими границами

Если контролер, реализующий прооцедуру наблюдения за процессом, располагает компьютером, то естественно таблицу подобную табл. 4.5 целесообразно заполнять в каком либо приложении типа электронных таблиц. Это могут быть, например, приложение Excel Microsft Office или LibreOffice Calc. При использовании этих приложений, разумеется, можно немедленно после ввода измеренных значений получать не только среднее арифметическое, но и сигнал тревоги, когда результат расчета попадает в зону выше контрольной границы (зона $A$) или когда среднее арифметическое становится $K$‑м в зоне $W$ между предупреждающей и контрольной границами. Формирование такого сигнала в специальном столбце организуется с помощью функции ЕСЛИ. Именно так сформирован столбец «Действие» в табл. 4.5.

Применение бумажной карты требует внимательного отношения к факту ограниченной длинны бланка карты размером листа бумаги. Если достигнуто окончание карты на отдельном бланке, при переходе на следующий пустой бланк карты прежде всего следует нанести все точки, попавшие в зоны предупреждения на законченном бланке.

Здесь уместно сделать дополнительно замечание относительно выбора той или иной таблицы стандарта. Это замечание касается различия выбора $ARL$ при одностороннем и двухстороннем критерии. Одна из таблиц стандарта ориентирована на рассмотрение двухстороннего критерия при значении параметра  $\delta/\sqrt{n}$ меньшем единицы. Но, когда параметр  $\delta/\sqrt{n}\ge1$, значения $ARL$ двухстороннего и одностороннего критериев совпадают. И тогда следует использовать три таблицы одностороннего критерия, каждая из которых соответствует одному выбранному значению $B_1$.

Практика выбора предупреждающих границ карты и использования различных вариантов критерия $K$ показывает, что следует всегда внимательно отнестись к варианту построения карты с наименьшим значением $K=2$. Для контролера такая карта наиболее проста и удобна: следить за появлением второй точки в зоне предупреждения, естественно, удобнее, чем ждать следующих третьей или четвертой точек и помнить с чем надо проводить сравнение. В приведенном выше примере такой конкурирующий вариант построения карты фигурирует под номером 2 в табл. 4.4. Средняя длина серии до ложного предупреждения не намного меньше привычного значения 370, и, вместе с тем, $ARL$ до ожидаемого значения 2 в зоне $W$ практически совпадает с $ARL$ выбранного лучшего плана.

Если рассмотреть такой вариант построения карты, то предупреждающую границу при  $B_2=1{,}75$ следует провести на уровне

$$\mu_0+B_2\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=18+1{,}75\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\approx18{,}78.$$

И оказывается, что с экспериментальными данными табл. 4.5 сигнал остановки процесса появился бы также, как и в предыдущем варианте на 14‑й выборке. Это видно на табл. 4.6.

Таблица 4.6. Выборочные данные и средние арифметические $\bar {x}$. Реакция на появление точек в зонах $A$ и $W$ соответствует уровню контрольной границы  ${19{,}34~(B_1=3)}$ и уровню предупреждающей границы  ${18{,}78~(B2=1{,}75,~K=2)}$