B.1. Ответы к заданиям главы 3

К заданию 3.8.

Поскольку задан относительный сдвиг процесса $\delta=1{,}5$ воспользоваться можно формулой (3.5)

$\displaystyle p=1-\Phi\left(Z_p-\delta\cdot\sqrt{n}\right)=1-\Phi\left(3-1{,}5\cdot\sqrt{4}\right)=1-\Phi\left(0\right).$

Как известно, $\Phi(0)=0{,}5$ и потому при каждой выборке среднее арифметическое с вероятностью $0{,}5$

превзойдет границу регулирования $U_{CL}$ .

К заданию 3.9.

Поскольку задан относительный сдвиг процесса $\delta=0{,}5$ воспользоваться можно формулой (3.5)

$\displaystyle p=1-\Phi\left(Z_p-\delta\cdot\sqrt{n}\right)=1-\Phi\left(3-0{,}5\cdot\sqrt{4}\right)=1-\Phi\left(2\right).$

В таблицах [16] или в компьютерных приложениях Microsoft Excel или LibreOffice Calc находим $\Phi(2)=0{,}97725$ . А потому вероятность сигнала тревоги равна $0{,}02275$

К заданию 3.16.

При известном значении $ARL$ можно найти вероятность $p$ того, что граница превзойдена. Для этого уравнение (3.10)

$\displaystyle ARL=\frac{1-p}{p}$

надо разрешить относительно $p$

. Тогда имеем

$\displaystyle p=\frac{1}{1+ARL}.$

Теперь, когда известна вероятность успеха, как и в (3.6), искомую вероятность выразим формулой

$\displaystyle \Pr\left\{X=k=\frac{ARL}{2}\right\}=q^{ARL/2}\cdot p=(1-p)^{ARL/2}\cdot p.$

Подставив предыдущее выражение, окончательно получим

$\displaystyle (1-p)^{ARL/2}\cdot p = \left(1-\frac{1}{1+ARL}\right)^{ARL/2}\cdot\frac{1}{1+ARL}.$

К заданию 3.17.

В соответствии с решением, найденным для задания 16, имея $ARL=20$ , находим $p=1/21$ . Вероятность того, что будет реализована серия длиной $10 $ вычисляется, используя полученное там же выражение

$\displaystyle \Pr\left\{ X=10\right\}=\left(1-\frac{1}{21}\right)^{10}\cdot \frac{1}{21}\approx 0{,}029.$

К заданию 3.18.

Аналогично решению в задании 17 получим

$\displaystyle \Pr\left\{X=k=2\cdot ARL\right\}=q^{2\cdot ARL}\cdot p = \left(1-... ... ARL}\cdot p = \left(1-\frac{1}{1+ARL}\right)^{2\cdot ARL}\cdot\frac{1}{1+ARL}.$

К заданию 3.19.

Как и в в задании 17, имея $ARL=20$ , находим $p=1/21$ . Вероятность того, что будет реализована серия длиной $40$ , вычисляется как

$\displaystyle \Pr\left\{ X=40\right\}=\left(1-\frac{1}{21}\right)^{40}\cdot \frac{1}{21}\approx 0{,}0067.$

К заданию 3.20.

Искомая вероятность — это сумма

$\displaystyle \Pr\left\{k\le ARL\right\}=q^0p+q^1p+q^2p+\dots+q^{ARL}p,$

которую можно представить в форме

$\displaystyle \Pr\left\{k\le ARL\right\}=p\left(q^0+q^1+q^2+\dots+q^{ARL}\right)=p\cdot S_n.$

В последней формуле $S_n$

— сумма геометрической прогрессии с первым членом $1$

и знаменателем $q$

. Поэтому

$\displaystyle S_n=\frac{1\cdot\left(1-q^{ARL}\right)}{1-q}=\frac{1-\left(1-p\right)^{ARL}}{1-(1-p)}=\frac{1-\left(1-p\right)^{ARL}}{p}.$

И окончательно

$\displaystyle \Pr\left\{k\le ARL\right\}=p\cdot S_n=1-\left(1-p\right)^{ARL}.$

К заданию 3.21.

Из очевидного равенства

$\displaystyle \Pr\left\{k>ARL\right\} = 1- \Pr\left\{k\le ARL\right\}$

и из решения задания 20 следует,что

$\displaystyle \Pr\left\{k>ARL\right\} = 1-1-\left(1-p\right)^{ARL}=\left(1-p\right)^{ARL}.$

К заданию 3.22.

Значению $ARL=19$ соответствует вероятность $p=1/(1+19)=1/20$ . Подставляя эти значения в решение задания 20, находим

$\displaystyle \Pr\left\{k\le19\right\}=1-\left(1-\frac{1}{20}\right)^{19}\approx1-0{,}377=0{,}623.$

К заданию 3.23.

Значению $ARL=19$ соответствует вероятность $p=1/(1+19)=1/20$ . Подставляя эти значения в решение задания 21, находим

$\displaystyle \Pr\left\{k>19\right\} = \left(\frac{1}{20}\right)^{19}\approx0{,}377.$