B.3. Ответы к заданиям главы 5

К задаче 5.15.

Указание: воспользуйтесь (5.27) и (5.17).

Ответ: ${\mathrm{Mo}}=2$; $\Pr\{Mo;np\}=0{,}259$.

К задаче 5.16.

Ответ: ${\mathrm{Mo}}=10$; $\Pr\{Mo;np\}=0{,}128$.

К задаче 5.18.

Вероятность ложной тревоги $0{,}00135$.

К задаче 5.19.

$ARL\approx740$.

К задаче 5.20.

Указание: постройте таблицу аналогичной табл. 5.3. Найдите в первом столбце критические значения $d$, сопоставляя заданный риск с вероятностями в последнем столбце. Назначьте контрольную границу.

Решение.

Для значения $\lambda =3$ таблица построена и приведена в виде табл. B.1. Теперь можно начать ее анализ.

Таблица B.1. Вероятности Пуассона  $\psi (d;\lambda )$ при $\lambda =3$ и суммы для расчета вероятности ложной тревоги

При $d=9$ вероятность обнаруживать $9$ или более дефектных объектов в выборке ($d\ge9$) равна $0{,}0038$. Это значение превышает заданную максимальную вероятность ложной тревоги $0{,}0015$. А при $d=10$ вероятность обнаруживать $10$ или более дефектных объектов в выборке ($d\ge10$) равна $0{,}0011$, что уже не превышает заданный максимум вероятности ложной тревоги $0{,}0015$ ( $0{,}0011<0{,}0015$). Поэтому критическое значение равно $10$ и можно выбрать $UCL=9{,}5$.

Оценивая целесообразность использования приближения Пуассона, можно сравнить найденное решение с трехсигмовыми границами. Расчет дает для приближения Муавра–Лапласа

$$U_{CL}=n\bar{p}+3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})}=3+3\sqrt{3(1-0{,}03)}\approx8{,}11.$$

Значение трехсигмовой границы $8{,}11$ означает, что уже появление числа дефектов $d=9$ требует вмешательства в процесс производства. И вероятность ложной тревоги становится равной $0{,}0038$.

К задаче 5.21.

Указание: воспользуйтесь таблицей решения задачи 20.

Решение.

Поскольку задана максимальная вероятность ложного предупреждения $0{,}025$ в таблице распределения Пуассона с параметром $\lambda =3$ ближайшее большее значение вероятности тревоги находим равным $0{,}0335$ в строке с числом дефектов в выборке $d=7$. Вероятность того, что $d\ge8$ равна $0{,}0119$. Это существенно меньше, чем заданый максимум вероятности ложного предупреждения $0{,}025$. Поэтому можно принять в качестве предупреждающей границы значение  $U_{WL}=7{,}5$.

Поскольку речь идет о возможном попадании точки на карте в зону предупреждения необходимо обсудить еще один вопрос. Вероятность попасть в зону предупреждения, строго говоря, не равна вероятности того, что появится число дефектов  $d\ge d_{cr}$ . Вероятность попадания точки на контрольной карте выше верхней контрольной границы следует вычесть из вероятности того, что  $d\ge d_{cr}$. При решении предыдущей задачи было найдено, что для верхней контрольной границы вероятность появления числа дефектов $d\ge10$ равна $0{,}0011$. Эту вероятность следует вычесть из найденной выше вероятности того, что $d\ge8$. С этим уточнением вероятность ложного предупреждения равна  $0{,}0119-0{,}0011=0{,}0108$.

К задаче 5.27.

Указание: сначала необходимо построить таблицу распределения Пуассона с параметром $va=2{,}38$ (см табл. B.2) аналогичную табл. 5.5.

Таблица B.2. Вероятности Пуассона  $\psi (k;va)$ появления $k$ дефектов при $va=2{,}38$ и суммы для расчета вероятности ложной тревоги

Выполняя пожелание иметь вероятность ложной тревоги не более $0{,}001$, выбираем критическое значение числа дефектов в выборке равным $9$. Границу контроля за управляемостью процесса назначить можно $8{,}5$.

Предупреждающую границу можно выбрать равной $6{,}5$, поскольку она обеспечивает, что риск ложного предупреждения не превзойдет $0{,}025$.

Полученные значения совпаают с приведенными в тексте второго примера п. 5.4.2.